Grafik Kontrol Shewhart (Bagian 1)

Pada mulanya grafik Shewhart dibangun oleh Dr. Walter Shewhart pada tahun 1924. Ia menemukan bahwa variasi yang diamati pada hasil produksi secara visual “berbeda” dengan variasi yang diharapkan pada tipe karakteristik secara alami untuk sistem yang stabil. Dr Walter Shewhart berspekulasi bahwa variasi yang tidak diharapkan ini disebabkan oleh kesalahan proses baik dari faktor pekerja atau manajemen.

Grafik kontrol Shewhart ini merupakan grafik yang digunakan untuk menyajikan pengukuran statistik yang diperoleh dari data variabel atau atribut. Grafik ini membutuhkan data dari sub kelompok (sub group) yang diperoleh dari interval reguler suatu proses. Interval ini dapat berupa waktu (misalnya setiap jam), atau jumlah (misalnya setiap lot). Umumnya data didapatkan dari proses yang mempunyai sampel atau sub group yang terdiri dari karakteristik pengujian yang sama, atau dengan unit pengukuran yang sama. Grafik ini memiliki dua garis batas statistik dan satu garis tengah yang dinamakan U_CL (Upper Control Limit), L_CL (Lower Control Limit) dan CL (Control Limit) (ISO 7870-2: 3). Bentuk umum untuk grafik kontrol Shewhart dapat dijumpai pada gambar dibawah ini.

Gambar 1 Bentuk umum grafik kontrol Shewhart. Diambil dari dokumentasi pribadi.

Notasi yang digunakan pada bagian grafik Shewhart adalah sebagai berikut.

n : ukuran sub-grup; jumlah sampel yang diamati per sub-grup

k : jumlah sub-grup

L : batas spesifikasi bawah (lower)

L_CL : batas kontrol bawah

U : batas spesifikasi atas (upper)

U_CL : batas kontrol atas

X : karakteristik kualitas yang diukur

X : rata-rata sub-grup

XX : rata-rata dari rata-rata sub-grup

µ : nilai benar rata-rata dari proses

σ : nilai benar standar deviasi dari proses

σ₀ : nilai σ yang telah ditetapkan

Ẋ : median dari sub-grup

Ẋ : rata-rata median dari sub-grup

R : kisaran (range) sub group; selisih nilai tertinggi dan terrendah

R : rata-rata dari nilai R untuk semua sub-grup

R_m : rata-rata nilai (n-1)R_m suatu set n pengamatan

s : standar deviasi sampel yang diperoleh di dalam sub group

√∑(X_i-X)²/n-1

s : rata-rata standar deviasi sampel sub-grup

p : proporsi atau fraksi dari unit dalam sub-grup

p : nilai rata-rata proporsi atau fraksi

np : jumlah unit dengan klasifikasi yang telah ditetapkan di sub group

p₀ : nilai p yang telah ditetapkan

np₀ : nilai np yang telah ditetapkan (untuk penetapan p₀)

c : jumlah insiden di dalam sub-grup

c₀ : nilai c yang telah ditetapkan

u : jumlah insiden per unit dalam sub-grup

u : rata-rata nilai u

u₀ : nilai u yang telah ditetapkan

catatan : tanda baku untuk rata-rata dalam statistik adalah dengan memberikan upperline atau bar (garis datar atas) diatas notasi tetapi untuk mempermudah teknis format penulisan maka digunakan penulisan italic sebagai penggantinya.

Batas kontrol pada grafik ini ditempatkan sejauh 3σ dari nilai tengahnya (CL), dimana σ adalah standar deviasi dari populasi yang diketahui atau diperkirakan. Pemilihan batas 3σ ini memiliki latar belakang ekonomis dengan mempertimbangkan keseimbangan antara biaya untuk mencari masalah atau keanehan proses jika tidak terdapat masalah dengan kegagalan pencarian masalah atau keanehan jika proses tidak memiliki kinerja seperti seharusnya. Menempatkan batasan lebih dekat dengan garis tengah (CL) akan menghasilkan pencarian masalah yang sebenarnya tidak ada, tetapi menempatkan batasan lebih jauh akan meningkatkan risiko untuk tidak terdeteksinya masalah proses ketika masalah tersebut memang ada. Batas 3σ ini mengindikasikan bahwa perkiraan 99,7 % nilai statistik akan berada dalam kisaran batas U_CL dan L_CL. Atau jika dipandang dari sudut lain maka akan ada risiko sebesar 0,3 % (atau 3 kemungkinan kejadian dalam 1000) dari sebaran data yang akan berada diluar batas L_CL dan U_CL (ISO 7870-2, 2013: 4).

Berikut pembagian grafik Shewhart berdasarkan tipe data dan grafik berdasarkan ISO 7870-2 (2013: 6).

Tabel 1. Pembagian grafik Shewhart berdasarkan tipe data dan grafik. Diadaptasi dari “ISO 7870-2, 2013 Control charts – Part 2: Shewhart control chart”, oleh ISO, 2013, hal: 6.

Tipe data	Tipe grafik	Garis tengah
Grafik kontrol variabel	Grafik average (X) dan range (R) atau standar deviasi (s)	CL (µ atau σ) ditetapkan
		CL (µ atau σ) diperkirakan
	Grafik individual (X) dan moving range (R_m)	CL (µ atau σ) ditetapkan
		CL (µ atau σ) diperkirakan
	Grafik median (Ẋ) dan range (R)	CL (µ atau σ) diperkirakan
Grafik kontrol atribut	Grafik p	CL (p) ditetapkan
		CL (p) diperkirakan
	Grafik np	CL (np) ditetapkan
		CL (np) diperkirakan
	Grafik c	CL (c) ditetapkan
		CL (c) diperkirakan
	Grafik u	CL (u) ditetapkan
		CL (u) diperkirakan
CL yang telah ditetapkan atau ditentukan berdasarkan data penelitian atau percobaan sebelumnya.

1. Grafik Kontrol Shewhart Variabel

Pemilihan penggunaan grafik kontrol variabel sangat tergantung terhadap jumlah ukuran sampel yang digunakan. Jika ukuran sampel sangat banyak (≥10) maka digunakan grafik X dan s. Jika ukuran sampel <10 maka digunakan grafik X dan R. Namun jika ukuan sampel hanya satu maka dipakai grafik individual. Lebih lengkapnya dapat dilihat pada gambar berikut.

Gambar 2. Bagan pemilihan grafik average (X) dan range (R) atau standar deviasi (s) berdasarkan jumlah sample size (n) nya. Diadaptasi dari “ISO 7870-2, 2013 Control charts – Part 2: Shewhart control chart”, oleh ISO, 2013, hal: 7.

Selain grafik kontrol variabel diatas, terdapat juga grafik median. Grafik median adalah grafik alternatif untuk grafik X jika diinginkan pengurangan pengaruh nilai ekstrim dalam sub-grup.

Menurut ISO 7870-2 (2013: 7) grafik kontrol variabel sangat berguna karena:

hampir semua proses memiliki karakteristik yang terukur (data variabel) sehingga grafik ini dapat diaplikasikan secara luas.
grafik variabel lebih informatif dibandingkan grafik atribut karena informasi spesifik mengenai rata-rata proses dan varian diperleh secara langsung. Grafik variabel umumnya dapat menghasilkan sinyal terlebih dahulu sebelum ketidaksesuaian proses muncul.
grafik variabel dapat mengurangi biaya inspeksi proses dibandingkan dengan grafik atribut untuk monitring yang sepadan.

Menurut AOAC-FDA Appendix F (2006: 3) aturan umum statistik untuk menghitung rata-rata, standar deviasi atau perhitungan statistik lain dalam SPC ini adalah memakai sekitar 20-30 data atau lebih.

1.1. Grafik Mean (X) & Grafik Range (R); Grafik Mean (X) & Grafik Standard Deviation (s)

Grafik X dan R digunakan jika sample size sub group berukuran kecil, biasanya kurang dari 10. Sedangkan grafik X dan s dipilih untuk sample size sub group yang lebih besar (n≥10). Rumus dan batas kontrol untuk grafik ini dapat dilihat pada tabel berikut.

Tabel 2. Rumus penentuan batas atas dan bawah grafik X, R dan s. Diadaptasi dari “ISO 7870-2, 2013 Control charts – Part 2: Shewhart control chart”, oleh ISO, 2013, hal: 8.

Statistik	C_L diperkirakan			C_L telah ditentukan
Statistik	C_L	U_CL	L_CL	C_L	U_CL	L_CL
X	X	X+A₂R ; X+A₃s	XX-A₂R ; X-A₃s	µ₀	µ₀+Aσ₀	µ₀-Aσ₀
R	R	D₄R	D₃R	d₂σ₀	D₂σ₀	D₁σ₀
s	s	B₄s	B₃s	C₄σ₀	B₆σ₀	B₅σ₀
µ₀ & σ₀ adalah nilai yang telah ditentukan sebelumnya

Tabel 3. Faktor untuk batas kontrol rumus penentuan batas atas dan bawah. Diadaptasi dari “ISO 7870-2, 2013 Control charts – Part 2: Shewhart control chart”, oleh ISO, 2013, hal: 8.

. n	faktor untuk batas kontrol											faktor untuk garis tengah
	grafik X			grafik s				grafik R*				Pakai s*	Pakai R*
	A	A₂	A₃	B₃	B₄	B₅	B₆	D₁	D₂	D₃	D₄	C₄	d₂
2	2,121	1,880	2,659	–	3,267	–	2,606	–	3,686	–	3,267	0,7979	1,128
3	1,732	1,023	1,954	–	2,568	–	2,276	–	4,358	–	2,575	0,8862	1,693
4	1,500	0,729	1,628	–	2,266	–	2,088	–	4,698	–	2,282	0,9213	2,059
5	1,342	0,577	1,427	–	2,089	–	1,964	–	4,918	–	2,114	0,9400	2,326
6	1,225	0,483	1,287	0,030	1,970	0,029	1,874	–	5,079	–	2,004	0,9515	2,534
7	1,134	0,419	1,182	0,118	1,882	0,113	1,806	0,205	5,204	0,076	1,924	0,9594	2,704
8	1,061	0,373	1,099	0,185	1,815	0,179	1,751	0,388	5,307	0,136	1,864	0,9650	2,847
9	1,000	0,337	1,032	0,239	1,761	0,232	1,707	0,547	5,394	0,184	1,816	0,9693	2,970
10	0,949	0,308	0,975	0,284	1,716	0,276	1,669	0,686	5,469	0,223	1,777	0,9727	3,078
11	0,905	0,285	0,927	0,321	1,679	0,313	1,637	0,811	5,535	0,256	1,744	0,9754	3,173
12	0,866	0,266	0,886	0,354	1,646	0,346	1,610	0,923	5,594	0,283	1,717	0,9776	3,258
13	0,832	0,249	0,850	0,382	1,618	0,374	1,585	1,025	5,647	0,307	1,693	0,9794	3,336
14	0,802	0,235	0,817	0,406	1,594	0,399	1,563	1,118	5,696	0,328	1,672	0,9810	3,407
15	0,775	0,223	0,789	0,428	1,572	0,421	1,544	1,203	5,740	0,347	1,653	0,9823	3,472
16	0,750	0,212	0,763	0,448	1,552	0,440	1,526	1,282	5,782	0,363	1,637	0,9835	3,532
17	0,728	0,203	0,739	0,466	1,534	0,458	1,511	1,356	5,820	0,378	1,622	0,9845	3,588
18	0,707	0,194	0,718	0,482	1,518	0,475	1,496	1,424	5,856	0,391	1,609	0,9854	3,640
19	0,688	0,187	0,698	0,497	1,503	0,490	1,483	1,489	5,889	0,404	1,596	0,9862	3,689
20	0,671	0,180	0,680	0,510	1,490	0,504	1,470	1,549	5,921	0,415	1,585	0,9869	3,735
21	0,655	0,173	0,663	0,523	1,477	0,516	1,459	1,606	5,951	0,425	1,575	0,9876	3,778
22	0,640	0,167	0,647	0,534	1,466	0,528	1,448	1,660	5,979	0,435	1,567	0,9882	3,819
23	0,626	0,162	0,633	0,545	1,455	0,539	1,438	1,711	6,006	0,443	1,557	0,9887	3,858
24	0,612	0,157	0,619	0,555	1,445	0,549	1,429	1,759	6,032	0,452	1,548	0,9892	3,895
25	0,600	0,153	0,606	0,565	1,435	0,559	1,420	1,805	6,056	0,459	1,541	0,9896	3,931
*= tidak disarankan untuk n>10

Contoh Perhitungan 1 (grafik X dan R; n = 5)

Didapatkan data hasil pengujian rutin harian dengan parameter uji APC pada produk sosis. Setiap hari diambil sampel sebanyak 5 unit produk (X₁ sampai X₅) dari hari pertama sampai hari ke sepuluh.

sub grup	CFU/g
sub grup	X₁	X₂	X₃	X₄	X₅
1	64000	78000	77000	460000	61000
2	67000	89000	55000	12000	63000
3	56000	23000	63000	67000	67000
4	55000	72000	5600	5600	46000
5	67000	670000	89000	77000	67000
6	77000	46000	23000	550000	5600
7	55000	12000	72000	63000	67000
8	63000	45000	67000	63000	38000
9	560000	57000	46000	25000	35000
10	45000	5600	12000	63000	5600

CL (µ atau σ) diperkirakan, tidak ditentukan sebelumnya.

n (sample size) = 5

k (jumlah sub-grup) = 10

karena n = 5 maka dipakai grafik X dan R.

Data diubah menjadi log 10

sub grup	Log 10 CFU/g
sub grup	X₁	X₂	X₃	X₄	X₅
1	4,806	4,892	4,886	5,663	4,785
2	4,826	4,949	4,740	4,079	4,799
3	4,748	4,362	4,799	4,826	4,826
4	4,740	4,857	3,748	3,748	4,663
5	4,826	5,826	4,949	4,886	4,826
6	4,886	4,663	4,362	5,740	3,748
7	4,740	4,079	4,857	4,799	4,826
8	4,799	4,653	4,826	4,799	4,580
9	5,748	4,756	4,663	4,398	4,544
10	4,653	3,748	4,079	4,799	3,748

Data di plot ke dalam grafik sehingga tergambar sebaran nilainya.

Perhitungan nilai X dan R

X _{min j} = nilai paling kecil dari X₁, X₂, X₃ … X₅

X _{max j} = nilai paling besar dari X₁, X₂, X₃ … X₅

R _j = x _{max j}-x _{min j}

	X _j	X _{min j}	X _{max j}	R _j
1	5,0066	4,7853	5,6628	0,877
2	4,6789	4,0792	4,9494	0,870
3	4,7123	4,3617	4,8261	0,464
4	4,3514	3,7482	4,8573	1,109
5	5,0628	4,8261	5,8261	1,000
6	4,6799	3,7482	5,7404	1,992
7	4,6605	4,0792	4,8573	0,778
8	4,7316	4,5798	4,8261	0,246
9	4,8218	4,3979	5,7482	1,350
10	4,2056	3,7482	4,7993	1,051
X =	4,6911		R =	0,9739

Perhitungan grafik R

C_L = R =	0,974
D₄ =	2,114	dari tabel
D₃ =	0	dari tabel (bernilai 0 karena “-“)
U_CL = D₄ . R =	2,059
L_CL = D₃ . R =	0

Perhitungan grafik X

CL = XX =	4,691
A₂ =	0,577
UCL = XX + A₂ . R =	5,253
LCL = XX – A₂ . R =	4,129

Penyelesaian jika terdapat sub-grup yang diluar batas (CL).

Misalnya pada contoh perhitungan 1 didapatkan sub-grup yang berada diluar batas yaitu sub-grup 3:

Sub-grup	CFU/g					Log 10
Sub-grup	X₁	X₂	X₃	X₄	X₅	X_j
1	64000	78000	77000	460000	61000	5,0066
2	67000	89000	55000	12000	63000	4,6789
3	560000	2300000	6300000	6700000	670000	6,3123
4	55000	72000	5600	5600	46000	4,3514
5	67000	670000	89000	77000	67000	5,0628
6	77000	46000	23000	550000	5600	4,6799
7	55000	12000	72000	63000	67000	4,6605
8	63000	45000	67000	63000	38000	4,7316
9	560000	57000	46000	25000	35000	4,8218
10	45000	5600	12000	63000	5600	4,2056
					X =	4,8511

Perhitungan grafik X

C_L = XX =	4,851
A₂ =	0,577
U_CL = XX + A₂ . R =	5,448
L_CL = XX – A₂ . R =	4,254

Sehingga didapatkan grafik XX sebagai berikut.

Oleh karena itu subgrup 3 harus dikecualikan dan data sebaiknya dibuang, sehingga perhitungan CL, U_CL dan L_CL tidak melibatkan data sub-grup 3. Kemudian perhitungan grafik X menjadi :

C_L = XX =	4,688
A₂ =	0,577
U_CL = XX + A₂ . R =	5,283
L_CL = XX – A₂ . R =	4,094

Contoh Perhitungan 2 (grafik X dan s; n = 10)

Didapatkan data hasil pengujian rutin harian dengan parameter uji APC pada produk sosis. Setiap hari diambil sampel sebanyak 10 unit produk (X₁ sampai X₁₀) dari hari pertama sampai hari ke sepuluh.

sub-grup	CFU/g
sub-grup	X₁	X₂	X₃	X₄	X₅	X₆	X₇	X₈	X₉	X₁₀
1	64000	78000	77000	460000	61000	58000	77000	23000	77000	63000
2	67000	89000	55000	12000	63000	12000	12000	57000	57000	25000
3	56000	23000	63000	67000	67000	89000	63000	12000	12000	45000
4	55000	72000	5600	5600	46000	23000	12000	89000	89000	25000
5	67000	670000	89000	77000	67000	5600	23000	63000	5600	45000
6	77000	46000	23000	550000	5600	77000	57000	77000	560000	58000
7	55000	12000	72000	63000	67000	63000	560000	57000	23000	58000
8	63000	45000	67000	63000	38000	57000	77000	5600	58000	45000
9	560000	57000	46000	25000	35000	77000	63000	45000	63000	89000
10	45000	5600	12000	63000	5600	23000	89000	23000	25000	12000

CL (µ atau σ) ditentukan sebelumnya

	CFU/g	Log10
µ₀ =	86000	4,9345
σ₀ =	2,865	0,4571

n (sample size) = 10

k (jumlah sub-grup) = 10

karena n = 10 maka dipakai grafik X dan s.

Data diubah menjadi log 10

sub grup	Log 10 CFU/g
sub grup	X₁	X₂	X₃	X₄	X₅	X₆	X₇	X₈	X₉	X₁₀
1	4,81	4,89	4,89	5,66	4,79	4,76	4,89	4,36	4,89	4,80
2	4,83	4,95	4,74	4,08	4,80	4,08	4,08	4,76	4,76	4,40
3	4,75	4,36	4,80	4,83	4,83	4,95	4,80	4,08	4,08	4,65
4	4,74	4,86	3,75	3,75	4,66	4,36	4,08	4,95	4,95	4,40
5	4,83	5,83	4,95	4,89	4,83	3,75	4,36	4,80	3,75	4,65
6	4,89	4,66	4,36	5,74	3,75	4,89	4,76	4,89	5,75	4,76
7	4,74	4,08	4,86	4,80	4,83	4,80	5,75	4,76	4,36	4,76
8	4,80	4,65	4,83	4,80	4,58	4,76	4,89	3,75	4,76	4,65
9	5,75	4,76	4,66	4,40	4,54	4,89	4,80	4,65	4,80	4,95
10	4,65	3,75	4,08	4,80	3,75	4,36	4,95	4,36	4,40	4,08

Data di plot ke dalam grafik sehingga tergambar sebaran nilainya.

Perhitungan nilai XX dan s.

X_j = nilai rata-rata dari X₁, X₂, X₃ … X₁₀

s_j = standar deviasi dari X₁, X₂, X₃ … X₁₀

	X_j	s_j
1	5,0066	0,3699
2	4,6789	0,3438
3	4,7123	0,1985
4	4,3514	0,5550
5	5,0628	0,4297
6	4,6799	0,7309
7	4,6605	0,3278
8	4,7316	0,1087
9	4,8218	0,5349
10	4,2056	0,4968
XX =	4,6911

Perhitungan grafik s

C₄ =	0,94
C_L = C₄σ₀=	0,4297
B₆ =	1,964	dari tabel
B₅ =	0	dari tabel (bernilai 0 karena “-“)
U_CL = B₆ . σ₀ =	0,8978
L_CL = B₅ . σ₀ =	0,0000

Perhitungan grafik X

C_L = µ₀ =	4,6911
A =	1,324
U_CL = µ₀ + Aσ₀ =	5,296
L_CL = µ₀ – Aσ₀ =	4,086

Berlanjut ke bagian 2

1 Comment

indrapradhika Reply

04/04/2020 at 21:37

Mohon maaf, untuk notasi rata-rata pada umumnya terdapat bar atau upperline pada notasi tersebut, tetapi dikarenakan keterbatasan fasilitas editor, maka notasi pada paragraf menjadi ITALIC sedangkan pada gambar menjadi UNDERLINE. Harap menjadi maklum.

Laboratorium Mikrobiologi Standar

Grafik Kontrol Shewhart (Bagian 1)

1. Grafik Kontrol Shewhart Variabel

1.1. Grafik Mean (X) & Grafik Range (R); Grafik Mean (X) & Grafik Standard Deviation (s)

Contoh Perhitungan 1 (grafik X dan R; n = 5)

Contoh Perhitungan 2 (grafik X dan s; n = 10)

1 Comment

Leave a Reply Cancel reply